1.6 矩阵的函数

​  类似于实数的函数，可以定义矩阵的函数。例如在实数的多项式函数中只用到了加法和幂运算，也可以类似地定义矩阵的多项式函数，这里的矩阵一般为方阵，因为需要用到幂运算。下面主要介绍矩阵（方阵）的指数函数。

​  定义 \(1.6.1\) \(e^{A}={I+A+\frac{A^{2}}{2!}+\frac{A^{3}}{3!}+\frac{A^{4}}{4!}+ \cdots}\)

​  这个定义相当于把 \(f(x)=e^{x}\) 在原点泰勒展开（关于泰勒展开可见于微积分书中内容），然后把矩阵 \(A\) 带入泰勒展开式进行运算。

​  如果 \(A=diag\left\{A_{11}, A_{22} ,\cdots,A_{nn}\right\}\) ，其中 \(A_{ii}\) 是子矩阵，容易验证：

\[e^{A}=diag\left\{A_{11}, A_{22} ,\cdots,A_{nn}\right\}\]

​  如果 \(A\) 不是一个对角阵，可以运用线性代数中的酉变换，找到一个酉矩阵 \(U\) 使得对角矩阵 \(D=diag\left\{D_{11}, D_{22} ,\cdots,D_{nn}\right\}\) 满足 \(D=U A U^{\dagger}\) ，易知 \(A^{n}=U^{\dagger} D^{n} U\) ，从而

\[e^{A}=U^{\dagger} e^{D} U = U^{\dagger}diag\left\{e^{D_{11}}, e^{D_{22}} ,\cdots,e^{D_{nn}}\right\}U\]

​  类似于矩阵指数函数的定义，可以定义矩阵的其它函数。把矩阵代入其它函数的泰勒展开式即可。如矩阵的正弦函数可定义为：

\[sin(A)={A-\frac{A^{3}}{3!}+\frac{A^{5}}{5!}-\cdots}\]

​  矩阵的余弦函数可定义为：

\[cos(A)={1-\frac{A^{2}}{2!}+\frac{A^{4}}{4!}-\cdots+(-1)^{n}\frac{A^{2n}}{(2n)!}+\cdots}\]

​  下面介绍一个很重要的欧拉公式

\[e^{i \theta} =cos(\theta)+isin(\theta)\]

​  这个公式其实是说等式两边的泰勒展式是相等的，下面来验证一下。先给出一些泰勒展式：

\[e^{i \theta} = 1 +\theta + \frac{\theta^{2}}{2!}+ \frac{\theta^{3}}{3!}+\cdots+ \frac{\theta^{n}}{n!}+\cdots\]

\[sin(\theta) = 1 - \frac{\theta^{2}}{2!}+ \frac{\theta^{4}}{4!} - \cdots+ (-1)^{n}\frac{\theta^{2n}}{2n!}+\cdots\]

\[cos(\theta) = \theta - \frac{\theta^{3}}{3!}+ \frac{\theta^{5}}{5!} - \cdots+ (-1)^{n}\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\]

​  将以上三式代入欧拉公式等式两端，不难验证两端相等。

1.7 线性算子与矩阵表示

1.7.1 线性算子

​  正比例函数 \(y=k x(k \neq 0)\) ，即 \(f(x)=k x\) 。比如，在日常生活中，一斤米 \(k\) 元，买了 \(x\) 斤，就要付给商家 \({kx}\) 元钱。正比例函数对任意的实数 \(x_{1}\) , \(x_{2}\) ， \(f\left(x_{1}+x_{2}\right)=k\left(x_{1}+x_{2}\right)=k x_{1}+k x_{2}=f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)\) ; 对 任意的 \(x\) , \(a\) ,有 \(f(a x)=k(a x)=a(k x)=a f(x)\) 。这说明正比例函数保持加法运算与数乘运算 \([4]\) 。受这类事例启发，给出线性算子的概念。 如果数域K上的向量空间 \(V \equiv K^{m}\) 到向量空间 \(W \equiv K^{n}\) 的一个映射 \(\sigma\) 保持加法和数乘运算，即 \(\forall|u\rangle\) , \(| {v}\rangle \in V\) , \(k \in K\) , 有

\[\begin{split}\begin{aligned} &\sigma(|u\rangle+|v\rangle)=\sigma(|u\rangle)+\sigma|v\rangle \\ &\sigma(k|u\rangle)=k \sigma(|u\rangle) \end{aligned}\end{split}\]

​  那么称 \(\sigma\) 为 \(V\) 到 \(W\) 的一个线性算子。 根据线性算子的定义可以验证以下性质:

\[\sigma\left(\sum_{i} a_{i}\left|v_{i}\right\rangle\right)=\sum_{i} a_{i} \sigma\left(\left|v_{i}\right\rangle\right)\]

​  通常 \(\sigma(|v\rangle)\) 简记为 \(\sigma|v\rangle\) 。当定义在向量空间 \(V\) 上的线性算子 \(\sigma\) 时， 意味着 \(\sigma\) 是从 \(V\) 到 \(V\) 的一个线性算子。

​  一个重要的线性算子是向量空间 \(V\) 上的单位算子 \(I_{v}\) (identity operator)，它将 \(V\) 中任意向量对应到自身 即

\[I_{v}|v\rangle \equiv|v\rangle, \forall|v\rangle \in V\]

​  另一个重要的线性算子是向量空间 \(V\) 上的零算子0 (zero operator)，它将 \(V\) 中任意向量对应到V中零向量 \(|\hat{0}\rangle\) , 即

\[0|v\rangle \equiv|\hat{0}\rangle, \forall|v\rangle \in V\]

​  由于线性算子是映射的一种特殊情况，因此线性算子也可以做映射的合成，并满足合成的结合律。

1.7.2 矩阵表示

​  最直观的理解线性算子的方式就是通过线性算子的矩阵表示 (matrix representations)，因为矩阵能有一个直观的认识 \([3,4,6,7]\) 。

​  设 \(\sigma: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W}\) 是向量空间 \(V\) 到向量空间W的线性算子，选定向量组 \(\{|v_{1}\rangle,|v_{2}\rangle, \cdots,|v_{n}\rangle\}\) 为向量空间 \(V\) 的一 个基，向量组 \(\{|w_{1}\rangle,|w_{2}\rangle, \cdots,|w_{m}\rangle\}\) 为向量空间 \(W\) 的一个基，由于向量空间 \(V\) 中的任意向量 \(|v\rangle\) 都可以由基 \(\{|v_{1}\rangle,|v_{2}\rangle, \cdots,|v_{n}\rangle\}\) 线性表示, 根据线性算子的保持加法和数乘的性质，只要确定 \(\sigma\) 作用在基 \(\{|v_{1}\rangle,|v_{2}\rangle, \cdots,|v_{n}\rangle\}\) 上的像，从而也就确定了线性算子 \(\sigma\) 作用在任意向量 \(| {v}\rangle\) 上的像。

​  根据线性算子的定义可知，线性算子本质上是两个向量空间之间的映射，而映射表示一种对应关系。如果确 定空间V中每一个 \(|v\rangle\) 在映射作用到向量空间 \(W\) 中的像，也就确定从向量空间 \(V\) 到向量空间 \(W\) 的对应关系，即 线性算子 \(\sigma: V \rightarrow W\) 也就被确定。

​  而 \(V\) 中的每个元素都能被 \(V\) 中的基线性表示，因此将线性算子 \(\sigma\) 作用在基的每一个元素上面，得到 \(W\) 中的像 \(\sigma|v_{1}\rangle, \sigma|v_{2}\rangle, \cdots, \sigma|v_{n}\rangle\) 都确定，从而基的线性表示的像也被确定，那么线性算子也就被确定。 由于 \(\sigma|v_{j}\rangle, j=1,2, \cdots, n\) 是 \(W\) 中的元素，因此可以由 \(W\) 中的基 \(\{\left|w_{1}\right\rangle,\left|w_{2}\right\rangle, \cdots,\left|w_{m}\right\rangle\}\) 来线性表示， 即

\[\sigma|v_{j}\rangle=a_{1 j}|w_{1}\rangle+a_{2 j}|w_{2}\rangle+\cdots+a_{m j}|w_{m}\rangle=\sum_{i=1}^{m} a_{i j}|w_{i}\rangle\]

​  写成矩阵的形式

\[\begin{split}\left[\sigma\left|v_{1}\right\rangle, \sigma\left|v_{2}\right\rangle, \cdots, \sigma\left|v_{n}\right\rangle\right]=\left[\left|w_{1}\right\rangle, \quad\left|w_{2}\right\rangle, \quad \cdots \quad,\left|w_{m}\right\rangle\right]\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \ldots & a_{m n} \end{array}\right]\end{split}\]

​  把上式右端的 \(m \times n\) 矩阵记作 \(A\) ， 称 \(A\) 是线性算子 \(\sigma\) 在 \(V\) 的基 \(\left|v_{1}\right\rangle,\left|v_{2}\right\rangle, \ldots,\left|v_{n}\right\rangle\) 和 \(W\) 的基 \(\left|w_{1}\right\rangle,\left|w_{2}\right\rangle, \cdots,\left|w_{m}\right\rangle\) 下的矩阵表示(matrix representation) 。

​  因此，对于给定基下的线性算子都可以找到与之对应的矩阵。并且这种矩阵表示方式是唯一的。

​  根据矩阵的运算法则以及线性算子的定义，也可以验证矩阵是一个线性算子。因此，在给定向量空间的基 下，线性算子与矩阵作用在同一向量空间上是等价的。 设 \(\sigma\) 是域 \(G\) 上 \(n\) 维线性空间 \(V\) 到 \(m\) 维线性空间 \(W\) 的一个线性算子，它在 \(V\) 下的一个基 \(\left|v_{1}\right\rangle,\left|v_{2}\right\rangle, \ldots,\left|v_{n}\right\rangle\) 和 \(W\) 的一个基 \(\left|w_{1}\right\rangle,\left|w_{2}\right\rangle, \cdots,\left|w_{m}\right\rangle\) 下的矩阵为 \(A\) , \(V\) 中向量 \(|v\rangle\) 在基 \(\left|v_{1}\right\rangle,\left|v_{2}\right\rangle, \ldots,\left|v_{n}\right\rangle\) 下的坐标为 \(X\) ，则有：

\[\begin{split}\begin{aligned} &\sigma|v\rangle=\sigma\left[\left(\left|v_{1}\right\rangle,\left|v_{2}\right\rangle, \ldots,\left|v_{n}\right\rangle\right) X\right]\\ & =\left[\sigma\left(\left|v_{1}\right\rangle,\left|v_{2}\right\rangle, \ldots,\left|v_{n}\right\rangle\right)\right] X \\ &=\left[\left(\left|w_{1}\right\rangle,\left|w_{2}\right\rangle, \ldots,\left|w_{m}\right\rangle\right) A\right] X \\ &{=}\left(\left|w_{1}\right\rangle,\left|w_{2}\right\rangle, \ldots,\left|w_{m}\right\rangle\right)(A X) \end{aligned}\end{split}\]

​  因此 \(\sigma|v\rangle\) 在 \(W\) 的一个基 \(\left|w_{1}\right\rangle,\left|w_{2}\right\rangle, \cdots,\left|w_{m}\right\rangle\) 下的坐标为 \(A X\) 。 线性算子作用于向量空间中的元素所得到的新元素的坐标，实际上就是矩阵乘以向量空间中的元素的坐标。 因此前文矩阵的性质也对应于线性算子的性质。

​  根据线性算子的定义，可以将向量空间V中，两向量 \(| {u}\rangle\) 和 \(| {v}\rangle\) 的内积中的对偶 \(\left\langle {u} \right|\) 也可以看作从向量空间 \(V\) 到复数域 \(C\) 的线性算子，即

\[\begin{split}\langle u|(|v\rangle)=\langle u \mid v\rangle=(|u\rangle,|v\rangle)=\sum_{i=1}^{n} u_{i}^{*} v_{i}=\left[\begin{array}{lll} u_{1}^{*} & \cdots & u_{n}^{*} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} v_{1} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array}\right]\end{split}\]

​  而线性算子 \(\left\langle u\right|\) 在向量空间V中标准正交基下的矩阵表示为1乘n的矩阵 \(\left[\begin{array}{lll}u_{1}^{*} & \cdots & u_{n}^{*}\end{array}\right]\) 。

1.7.3 向量外积

​  一个n维向量可以看作一个1乘n或n乘1的矩阵，反过来，m乘n的矩阵可不可以看作一个向量呢? 本质上向量 和矩阵是一样的，只不过人们在不同的情况下，运用不同的表示方式。类比向量，矩阵的基又是什么呢? 矩 阵是一个线性映射，在给定基下，线性算子与矩阵等价，向量空间中的基与矩阵表示又有什么关系呢?

​  基于以上的疑问，下面引进向量外积的概念[6]。假设 \(| {v}\rangle | {w}\rangle \) 中的向量，定义 \(| {v}\rangle\left\langle {w}\right|\) 是从 \(V\) 到 \(W\) 的线性算子，并且满足运算规则。

\[(|w\rangle\langle v|)(|\tilde{v}\rangle):=|w\rangle(\langle v \mid \tilde{v}\rangle)=\langle v \mid \tilde{v}\rangle|w\rangle\]

​  这里借助于内积的运算定义了外积。 设在给定标准正价基下，向量 \(|v\rangle,|w\rangle\) 的坐标表示分别为:

\[\begin{split}|v\rangle=\left[\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array}\right],|w\rangle=\left[\begin{array}{c} w_{1} \\ w_{2} \\ \vdots \\ w_{m} \end{array}\right]\end{split}\]

​  从而线性算子 \(| {w}\rangle\left\langle\left. {v}\right|\right.\) 的矩阵表示为:

\[\begin{split}|w\rangle\langle v|=\left[\begin{array}{c}w_{1} \\w_{2} \\\vdots \\w_{m}\end{array}\right]\left[\begin{array}{llll}v_{1}^{*} & v_{2}^{*} & \cdots & v_{n}^{*}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}w_{1} v_{1}^{*} & w_{1} v_{2}^{*} & \cdots & w_{1} v_{n}^{*} \\w_{2} v_{1}^{*} & w_{2} v_{2}^{*} & \cdots & w_{2} v_{n}^{*} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\w_{m} v_{1}^{*} & w_{m} v_{2}^{*} & \cdots & w_{m} v_{n}^{*}\end{array}\right] \text {. }\end{split}\]

​  可以看出，在给定标准正交基下，线性算子 \(|w\rangle\left\langle\left. v\right| \right.\) 的矩阵表示为向量 \(\mid {w}\rangle\) 的坐标表示与 \(| {v}\rangle\) 的对偶向量的坐标表示的矩阵乘法得到。

1.7.4 对角表示

​  向量空间V上的线性算子A的对角表示 (diagonal representation) \([4,6]\) 是指 \(A\) 可以表示成

\[A=\sum_{i} \lambda_{\rho}|i\rangle\langle i|\]

​  其中向量 \(|i\rangle\) 为线性算子 \(A\) 的属于特征值 \(\lambda_{i}\) 的标准正交化的特征向量。 若一个线性算子有对角表示，则该线性算子一定可对角化的 (diagonalizable)。 比如，Pauli Z矩阵有对角表示

\[\begin{split}Z=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]=1 \cdot|0\rangle\langle 0|+(-1) \cdot| 1\rangle\langle 1|\end{split}\]

​  而线性算子可对角化，不一定有对角表示。 比如，矩阵

\[\begin{split}\left[\begin{array}{ll} 1 & -2 \\ 0 & -1 \end{array}\right]\end{split}\]

​  特征值1对应的特征向量为 \(k_{1}\left[\begin{array}{cc}1 & 0\end{array}\right]^{T}\) ，特征值-1对应的特征向量为 \(k_{2}\left[\begin{array}{cc}1 & 1\end{array}\right]^{T}\) ，这两个特征向量并不正交， 因此不可以对角表示。 而矩阵

\[\begin{split}\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right]\end{split}\]

​  是不可对角化的。

​  定理 向量空间V上任意线性算子A是正规算子的充要条件是在 \(V\) 的某个标准正交基下， 线性算子A有对角表示。

1.7.5 影算子

​  假设 \(U\) 是 \(n\) 维向量空间 \(V\) 的k维子空间，可以从V标准正交基中找到 \(k\) 维子空间 \(U\) 的标准正交基并标记为 \(|1\rangle, \cdots|k\rangle\) ，定义

\[P:=\sum_{i=1}^{k}|i\rangle\langle i|\]

​  为子空间 \(W\) 上的投影算子 (projector) [6]。定义

\[Q:=\sum_{i=k+1}^{n}|i\rangle\langle i|\]

​  为投影算子 \(P\) 的正交补 (orthogonal complement )。可以验证

\[P+Q=I\]

​  定理 对于任意投影 \(P\) ，满足 \(P^{2}=P\) 。

\[P^{2}=\left(\sum_{i=1}^{k}|i\rangle\langle i|\right)^{2}=\sum_{i, j=1}^{k}|i\rangle\langle i \mid j\rangle\langle j|\]

\[\begin{split}\left\langle i \mid j\right\rangle=\delta_{i j} \begin{cases}1, & (i=j) \\ 0, & (i \neq j)\end{cases}\end{split}\]

\[\sum_{ i, j=1}^{k}|i\rangle\langle i \mid j\rangle \langle j |=\sum_{i=1}^{k} \ | i\rangle \langle i|=P\]

即 \(P^{2}=P\) 。证毕。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学-上册（第六版）[M].高等教育出版社，2007年4月.

[2] 同济大学数学系.高等数学-下册（第六版）[M].高等教育出版社，2007年6月.

[3] 丘维声. 高等代数-上册 [M].清华大学出版社，2010年6月.

[4] 丘维声. 高等代数-下册 [M].清华大学出版社，2010年10月.

[5] James Stewart. Calculus(Eight Edition)[M]. CENGAGE Learning, 2016.

[6] Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information[M]. Cambridge University Press, 2010.

[7] Giuliano Benenti, Giulio Casati and Giuliano Strini. Principles of Quantum Computation and Information(Volume I: Basic Concepts)[M]. World Scientific, 2004.

[8] Mikio Nakahara and Tetsuo Ohmi . Quantum Computing-From Linear Algebra to Physical Realizations[M]. CRC Press, 2004.