1.3 向量空间

​  学习量子计算，要对量子力学有所了解，而量子力学是由希尔伯特空间来描述的，希尔伯特空间又是向量空间，因此首先要来介绍向量空间（vector spaces）[2,4,6,8]。

​  向量空间本质上是一个由向量组成的集合，然后引进一些运算规则。那什么是向量呢？向量相对数量来说的，数量是只有大小的量，而向量不仅有大小而且还有方向的量。有时，向量也称为矢量。可以认为向量是数量的一个自然的扩充。

​  假设有一个数域 \(K\) （集合 \(K\) 中任意两个元素的和、差、积、商（除数不为0）还属于集合 \(K\) ，称该集合为数域 \(K\) ），自然想到用直积将数域 \(K\) 进行扩充，n个数域 \(K\) 的直积可以表示为

\[K^{n}=\left\{\left(v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right) \mid v_{i} \in K, i=1,2, \cdots, n\right\}\]

​  其中 \(K^{n}\) 元素 \(\left(v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right)\) 称为 \(n\) 维向量，称 \(v_{i}\) 为其第 \(i\) 个分量。为了表示方便与统一将带小括号的元素 \(\left(v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right)\) 记作列向量, 即:

\[\begin{split}\left(v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right):=\left[\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array}\right]\end{split}\]

​  在数学上，向量常用加粗的小写拉丁字母 a, b, c, …… 或者带箭头的小写拉丁字母 \(\vec{a}, \vec{b},\vec{c},\ldots\) 来表示。而在量子物理上，常用带有狄拉克符号 \((|*\rangle)\) 的字母 \(|a\rangle\) , \(|b\rangle\) , \(|c\rangle\) , \(\ldots\) 来表示。这里统一采用带有狄拉克符号的表示方法，即:

\[\begin{split}|v\rangle:=\left(v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right):=\left[\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array}\right]\end{split}\]

​  两个向量 \(| {u}\rangle\) 、 \(| {v}\rangle\) 相等的定义为向量的分量分别对应相等，即：

\[\begin{split}|u\rangle=|v\rangle \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c} u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array}\right] \Leftrightarrow u_{1}=v_{1}, u_{2}=v_{2}, \cdots, u_{n}=v_{n}\end{split}\]

​  其中 \(\Longleftrightarrow\) 表示”等价于”。 规定 \(K^{n}\) 中任意两向量 \(|u\rangle\) 、 \(|v\rangle\) 的加法运算为两向量对应分量分别做普通加法，即：

\[\begin{split}|u\rangle+|v\rangle=\left[\begin{array}{c} u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array}\right]:=\left[\begin{array}{c} u_{1}+v_{1} \\ u_{2}+v_{2} \\ \vdots \\ u_{n}+v_{n} \end{array}\right]\end{split}\]

  规定数量 \(k \in K\) 与向量 \(|u\rangle \in K^{n}\) 之间的数乘运算为数量 \(k\) 的每一个分量分别做普通乘法，即：

\[\begin{split}k|u\rangle:=\left[\begin{array}{c} k u_{1} \\ k u_{2} \\ \vdots \\ k u_{n} \end{array}\right]\end{split}\]

​  设 \(V \equiv K^{n}\) ， 根据数域的性质，可以验证，对任意的 \(| {u}\rangle\) , \(| {v}\rangle\) , \(| {w}\rangle \in V\) ，任意的 \(\alpha, \beta \in K\) 满足以下运算法 则

  (1) \(| {u}\rangle+| {v}\rangle=| {v}\rangle+| {u}\rangle\) ；（加法交换律）

  (2) \((|u\rangle+|v\rangle)+|w\rangle=|u\rangle+(|v\rangle+|w\rangle)\) ; (加法结合律)

  (3) \(\mathrm{V}\) 中有一个元素 \((0,0, \cdots, 0)\) ，记作 \(|\hat{0}\rangle\) .它满足

\[|\hat{0}\rangle+|v\rangle=|v\rangle+|\hat{0}\rangle=|v\rangle, \forall|v\rangle \in V\]

​具有该性质的元素 \(|\hat{0}\rangle\) 称为V的零向量 (zero-vector) ;

  (4) 对于 \(|v\rangle \in V\) 存在 \(\quad|\bar{v}\rangle:=\left[\begin{array}{c}-v_{1} \ -v_{2} \ \vdots \ -v_{n}\end{array}\right] \in V\) , 使得

\[|v\rangle+|\bar{v}\rangle=|\hat{0}\rangle\]

​具有该性质的元素 \(|\bar{v}\rangle\) 称为 \(|v\rangle\) 的负向量 (inverse)；

  (5) \(1|v\rangle=|v\rangle\) , 其中 1 是 \(K\) 的单位元;

  (6) \((\alpha \beta)|v\rangle=\alpha(\beta|v\rangle)\) ;

  (7) \((\alpha+\beta)|v\rangle=\alpha| {v}\rangle+\beta|v\rangle\) ;

  (8) \(\alpha(|u\rangle+|v\rangle)=\alpha|u\rangle+\alpha|v\rangle\) 。

​  数域 \(K\) 上所有n元有序数组组成的集合 \(K^{n}\) ，再加上定义在其上的加法运算和数乘运算，以及满足的 8 条运算法则一起，称为数域 \(K\) 上的一个n维向量空间。 在 \(V\) 中，可以根据向量的加法运算来定义向量的减法运算为

\[|u\rangle-|v\rangle:=|u\rangle+|\bar{v}\rangle\]

​  在 \(V\) 上，定义加法运算和数乘运算之后，满足的8条运算法则可以推导出向量空间的一些其他性质：

  性质1: \(V\) 中零向量是唯一的。

  性质2: \(V\) 中每个向量 \(\alpha\) 的负向量是唯一的。

  性质3: \(0|v\rangle=|0\rangle, \forall|v\rangle \in V\) 。

  性质4: \(\alpha|0\rangle=|0\rangle, \forall \alpha \in K\) 。

  性质5: 如果 \(\alpha|v\rangle=|0\rangle\) ，那么 \(\alpha=0\) 或 \(|v\rangle=|0\rangle\) 。

  性质6: \((-1)|v\rangle=-|v\rangle, \forall|v\rangle \in V\) 。

​若 \(K^{n}\) 的一个非空子集 \(U\) 满足以下两条性质：

  (1) \(| {u}\rangle,| {v}\rangle \in U \Rightarrow| {u}\rangle+| {v}\rangle \in U\) ,

  (2) \(| {u}\rangle \in U, k \in K \Rightarrow k| {u}\rangle \in U\) ,

​  则称 \(U\) 为 \(K^{n}\) 的一个线性子空间，简称为子空间 (subspace)。

1.3.1 线性无关与基

​  若想研究数域 \(K\) 上向量空间V的结构特征，根据向量空间的定义，只能从V的向量的加法以及数乘这两种运算开始。对于V中的一组向量 \(\{|v_{1}\rangle,|v_{2}\rangle, \cdots,|v_{s}\rangle\}\) ，数域 \(K\) 中的一组元素 \(\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\}\) ，作数乘和加法得到

\[\alpha_{1}|v_{1}\rangle+\alpha_{2}|v_{2}\rangle+\cdots+\alpha_{s}|v_{s}\rangle\]

​  根据V中加法和数乘的封闭性， \(\alpha_{1}|v_{1}\rangle+\alpha_{2}|v_{2}\rangle+\cdots+\alpha_{s}|v_{s}\rangle\) 还是V中的一个向量, 称该向量是 \(\{|v_{1}\rangle,|v_{2}\rangle, \cdots,|v_{s}\rangle\}\) 一个线性组合 (linear combination)， \(\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\}\) 称为系数。 为了方便，像 \(\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\}\) 这样按照一定顺序写出的有限多个向量称为 \(V\) 的一个向量组。 如果 V中的一个向量 \(| {u}\rangle\) 可以表示成向量组 \(\{|v_{1}\rangle,|v_{2}\rangle, \cdots,|v_{s}\rangle\}\) 的一个线性组合, 即：

\[|u\rangle=\sum_{i=1}^{s} \alpha_{i}|v_{i}\rangle\]

​  那么称 \(| {u}\rangle\) 可以由向量组 \(\{|v_{1}\rangle,|v_{2}\rangle, \cdots,|v_{s}\rangle\}\) 线性表示(或线性表出)。 若向量组 \(\{|v_{1}\rangle,|v_{2}\rangle, \cdots,|v_{s}\rangle\}\) 中至少存在一个向量可以由除自身外的其他向量线性表示, 则称这组向量线性相关 (linearly dependent)。否则, 向量组 \(\{|v_{1}\rangle,|v_{2}\rangle, \cdots,|v_{s}\rangle\}\) 中任意一个向量都不可以由其他向量线性表示，则称这组向量线性无关 (linearly independent)。 若向量空间V中的任意向量都可以由向量组 \(\{|v_{1}\rangle,|v_{2}\rangle, \cdots,|v_{s}\rangle\}\) 线性表示, 则称该向量组为向量空间 V的生成集 (spanning set)。 线性无关的生成集称为极小生成集。向量空间的极小生成集定义为向量空间的基，极小生成集中向量的个数定义为向量空间的维数。比如，当数域 \(K\) 为复数域 \(C\) 时，向量空间 \(C^{2}\) 的基为由向量

\[\begin{split}\left|b_{1}\right\rangle:=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right], \quad\left|b_{2}\right\rangle=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right]\end{split}\]

​组成的集合。因为向量空间 \(C^{2}\) 中的任意向量

\[\begin{split}|u\rangle=\left[\begin{array}{l}u_{1} \\u_{2}\end{array}\right]\end{split}\]

​  都可以写成向量组 \(\{|b_{1}\rangle\,|b_{2}\rangle\}\) 的线性组合，即：

\[|u\rangle=u_{1}\left|b_{1}\right\rangle+u_{2}\left|b_{2}\right\rangle\]

​  并且向量组 \(\{|b_{1}\rangle,|b_{2}\rangle\}\) 线性无关。

​​  因此，当知道向量空间的基时，就可以来用它们来线性表示该向量空间中的任意的向量。也可以说这组基张成了这个向量空间。

​  然而需要注意的是向量空间的基并不唯一。比如，一组向量

\[\begin{split}\left|b_{1}\right\rangle:=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{l}1 \\1\end{array}\right],\left|b_{2}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1 \\-1\end{array}\right]\end{split}\]

​  就可以作为向量空间 \(C^{2}\) 的另一组基。因为向量空间 \(C^{2}\) 中的任意向量

\[\begin{split}|u\rangle=\left[\begin{array}{l} u_{1} \\ u_{2} \end{array}\right]\end{split}\]

​  可以写成 \(\left|b_{1}\right\rangle\) 与 \(\left|b_{2}\right\rangle\) 的线性组合

\[|u\rangle=\frac{u_{1}+u_{2}}{\sqrt{2}}\left|b_{1}\right\rangle+\frac{u_{1}-u_{2}}{\sqrt{2}}\left|b_{2}\right\rangle\]

​  假设给定 \(n\) 维向量空间 \(V\) 的基 \(\{|b_{1}\rangle,|b_{2}\rangle, \cdots,|b_{n}\rangle\}\) 和任意向量 \(|u\rangle\) , 该向量都可以由该基线性表示，即

\[|u\rangle=\alpha_{1}\left|b_{1}\right\rangle+\alpha_{2}\left|b_{2}\right\rangle+\cdots+\alpha_{n}\left|b_{n}\right\rangle\]

​  将 \(|u\rangle\) 在该基 \(\{|b_{1}\rangle,|b_{2}\rangle, \cdots,|b_{n}\rangle\}\) 下的系数称为 \(|u\rangle\) 在该基下的坐标表示, 可以写成列向量的形式，即

\[\begin{split}|u\rangle=\left[\begin{array}{c} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \vdots \\ \alpha_{n} \end{array}\right]\end{split}\]

​  从二维复向量空间的例子可以看出，同一个向量在不同的基下有着不同的坐标表示。

​   定理  在 \(\mathrm{n}\) 维向量空间中， 给定一个基, 向量空间中的任意向量的坐标表示是唯一的。 证明设 \(\{|b_{1}\rangle,|b_{2}\rangle, \cdots,|b_{n}\rangle\}\) 为n维向量空间的一个基，根据基的定义，任意向量 \(|u\rangle\) 都可以由这组基线性表示，即

\[|u\rangle=\alpha_{1}\left|b_{1}\right\rangle+\alpha_{2}\left|b_{2}\right\rangle+\cdots+\alpha_{n}\left|b_{n}\right\rangle\]

​  假设 \(| {u}\rangle\) 在该基下的坐标表示是不唯一的，因此，存在另一种线性表示方式，即：

\[|u\rangle=\bar{\alpha}_{1}\left|b_{1}\right\rangle+\bar{\alpha}_{2}\left|b_{2}\right\rangle+\cdots+\bar{\alpha}_{n}\left|b_{n}\right\rangle\]

​  将这两个不同的坐标表示的向量做差，得到

\[|u\rangle-|u\rangle=\left(\alpha_{1}-\bar{\alpha}_{1}\right)\left|b_{1}\right\rangle+\left(\alpha_{2}-\bar{\alpha}_{2}\right)\left|b_{2}\right\rangle+\cdots+\left(\alpha_{n}-\bar{\alpha}_{n}\right)\left|b_{n}\right\rangle\]

  即

\[|\hat{0}\rangle=\left(\alpha_{1}-\bar{\alpha}_{1}\right)\left|b_{1}\right\rangle+\left(\alpha_{2}-\bar{\alpha}_{2}\right)\left|b_{2}\right\rangle+\cdots+\left(\alpha_{n}-\bar{\alpha}_{n}\right)\left|b_{n}\right\rangle\]

​  因为基是线性无关的，所以有

\[\alpha_{i}-\bar{\alpha}_{i}=0, i=1,2, \cdots, n\]

​  即：

\[\alpha_{i}=\bar{\alpha}_{i}, i=1,2, \cdots, n\]

​  从而假设不成立，因此在给定基下，任意给定向量的坐标表示唯一。

1.3.2 向量的内积

​  向量的内积是一个从向量空间 \(V \times V\) 到数域 \(K\) 的一个映射 \((-,-)\) , 并满足以下性质:

​  1、映射 \((-,-)\) 对第二项是线性的，即：

\[\left(|u\rangle, \sum_{i} \lambda_{i}\left|v_{i}\right\rangle\right)=\sum_{i} \lambda_{i}\left(|u\rangle,\left|v_{i}\right\rangle\right)\]

​  2、交换共轭性，即：

\[(|u\rangle,|v\rangle)=(|v\rangle,|u\rangle)^{*}\]

​  3、自内积非负性，即：

\[(|v\rangle,|v\rangle) \geq 0\]

​  等号成立当且仅当 \(|v\rangle\) 为零向量 \(|\hat{0}\rangle\) 。 比如，在 \(\mathrm{n}\) 维复向量空间中，定义内积为

\[(|u\rangle,|v\rangle):=\sum_{i} u_{i}^{*} v_{i}\]

​  其中

\[\begin{split}|u\rangle=\left[\begin{array}{c} u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \end{array}\right],|v\rangle=\left[\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array}\right]\end{split}\]

​  在量子力学中，内积 \((|u\rangle,|v\rangle)\) 的标准符号为 \(\langle u \mid v\rangle\) ，即：

\[\langle u \mid v\rangle :=(|u\rangle,|v\rangle)\]

​  这里 \(| {u}\rangle,| {v}\rangle\) 均为内积空间中的向量，符号 \(\langle u|\) 表示向量 \(| {u}\rangle\) 的对偶向量 (dual vector)，

\[\langle u|:=\left[u_{1}^{*}, u_{2}^{*}, \cdots, u_{n}^{*}\right]\]

​​  将拥有内积的空间称为内积空间（inner product space）。量子力学中常提到希尔伯特空间（Hilbert space），在有限维的情况下，希尔伯特空间与内积空间是一致的。无限维的情况，这里不加考虑。

​  若向量 \(| {u}\rangle\) 和向量 \(| {v}\rangle\) 的内积为 0 ，则称这两个向量正交 (orthogonal) 。比如，向量 \(| {u}\rangle \equiv(1, 0),|v\rangle \equiv(0, 1)\) ， 根据上面复向量空间内积的定义，可得 \(\langle u \mid v\rangle=1 \times 0+0 \times 1=0\) 故 \(| {u}\rangle\) , \(| {v}\rangle\) 两向量正交。 向量 \(|v\rangle\) 的模 (norm) 定义为

\[\|| v\rangle \|:=\sqrt{\langle v \mid v\rangle}\]

​  若向量 \(| {v}\rangle\) 满足 \(| v\rangle |=1\) ，则称该向量为单位向量 (unit vector) 或归一化的 (normalized)。对于任意非零向量 \(| {u}\rangle\) ，可以通过将该向量除以它的范数得到其归一化形式，即：

\[\frac{\left|v\right\rangle}{\mid\mid\left|v\right\rangle \mid\mid}\]

​  设 \(\left|b_{1}\right\rangle,\left|b_{2}\right\rangle, \cdots,\left|b_{n}\right\rangle\) 为向量空间的一组基，满足每一个向量都是单位向量, 并且不同向量的内积为 0 , 即：

\[\begin{split}\left\langle b_{i} \mid b_{j}\right\rangle= \begin{cases}1, & i=j \\ 0, & i \neq j\end{cases}\end{split}\]

​  则称这组向量为向量空间的标准正交 (orthonormal) 基。 标准正交基能带来很多方便，比如在计算向量的内积时，就可以将向量的坐标对应相乘。 假设知道向量空间的一个非标准正交基 \(\left|u_{1}\right\rangle,\left|u_{2}\right\rangle, \cdots,\left|u_{n}\right\rangle\) ，那么，可以通过Gram-Schmidt正交化来将非标准正交基转化为标准正交基。具体过程如下， 用向量组 \(\{|v_{1}\rangle,|v_{2}\rangle, \cdots,|v_{n}\rangle\}\) 来表示待生成的标准正交基, 首先定义

\[\left|v_{1}\right\rangle:=\frac{\left|u_{1}\right\rangle}{\mid\mid\left|u_{1}\right\rangle \mid\mid}\]

​  接着对 \(1 \leq k \leq n-1\) ， 递归地计算并定义

\[\left|v_{k+1}\right\rangle:=\frac{\left|u_{k+1}\right\rangle-\sum_{i=1}^{k}\left\langle v_{i}\left| \langle u_{k-1}\right| \mid v_{i}\right\rangle}{\|\left|u_{k+1}\right\rangle-\sum_{i=1}^{k}\left\langle v_{i} \mid u_{k-1}\right\rangle\left|v_{i}\right\rangle \|}\]

​  在量子计算中，通常，用一组带有指标 \(i\) 的向量 \(\mid i\rangle\) 来表示标准正交基。