1.4 矩阵与矩阵的运算

​  事实上，当提到矩阵时，并不陌生，只是在平时不把它叫做矩阵而已，而通常称作表。比如，一个班级有35名同学，这学期要修6门课程，在本学期期末考试后，为了便于管理和分析，老师将每位同学的各科成绩放在一起，做成一个35行，6列的表。在日常生活或在其他学科中有很多类似的表，将它们的特点进行提取，进而形成数学上的矩阵这样的抽象概念。其实这样的抽象过程也并不陌生，比如自然数的发明就是这样的一个过程。

1.4.1 矩阵的概念

​  定义 \(1.4.1\)  由 \(m \cdot n\) 个数排成 \(m\) 行、 \(n\) 列的一张表称为一个 \(m \times n\) 矩阵[3]，其中的每一个数称为这个矩阵的一个元素，第 \(i\) 行与第 \(j\) 列交叉位置的元素称 为矩阵的 \((i, j)\) 元。

​  如 \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\quad\) 或 \(\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right)\) 都是一个矩阵。 矩阵通常用大写英文字母 \(A\) , \(B\) , \(C\) , \(\ldots\) 表示。一个 \(m \times n\) 矩阵可以简单地记作 \(A_{m m}\) ，它的 \((i, j)\) 元记作 \(A(i, j)\) 。如果矩阵 \(A\) 的 \((i, j)\) 元是 \(a_{i j}\) ，那么可以记作 \(A=\left[a_{i j}\right]\) 或 \(A=\left(a_{i j}\right)\) 。 如果某个矩阵 \(A\) 的行数与列数相等, 则称之为方阵。 \(m\) 行 \(m\) 列的方阵也称为 \(m\) 级矩阵。 元素全为 0 的矩阵称为零矩阵，简记作 \(0\) 。 \(m\) 行 \(n\) 列的零矩阵可以记成 \(0_{n \times n}\) 。 数域 \(G\) 上两个矩阵称为相等，如果它们的行数相等，列数也相等，并且它们所有元素对应相等（即第一个矩阵的 \((i, j)\) 元等于第二个矩阵的 \((i, j)\) 元） 。

​  定义 \(1.4.2\)  设矩阵 \(A=\left(a_{i j}\right){m \times n}\) , 若矩阵 \(B=\left(b{i j}\right){n \times m}\) 满足 \(a{i j}=b_{j i}\) ，则称矩阵 \(B\) 为矩阵 \(A\) 的转置，将其记作 \(A^{T}\) 或 \(A^{\prime}\) 。一个矩阵 \(A\) 如果满足 \(A=A^{T}\) , 那么称 \(A\) 是对称矩阵。

​  定义 \(1.4.3\)  设 \({n}\) 级矩阵 \(A=\left(a_{i j}\right){n \times n}\) ，称 \(T=\sum{i=1}^{n} a_{i i}\) 为矩阵 \(A\) 的迹，记作 \(\text{tr}(A)\) 。 可以验证矩阵的迹有如下性质:

\[\begin{split}\begin{aligned}&1_{\circ} \text{tr}(A B)=\text{tr}(B A) \\&2_{\circ} \text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\end{aligned}\end{split}\]

​  由矩阵 \(A\) 的若干行、若干列的交叉位置元素按原来顺序排列成的矩阵称为 \(A\) 的一个子矩阵。

​  定义 \(1.4.4\)  把一个矩阵 \(A\) 的行分成若干组, 列也分成若干组，从而 \(A\) 被分成若干个子矩阵，把 \(A\) 看成是由 这些子矩阵组成的，这称为矩阵的分块，这种由子矩阵组成的矩阵称为分块矩阵。 例如矩阵 \(A\) 可写成分块矩阵的形式:

\[\begin{split}A=\left[\begin{array}{ll} A_{1} & A_{2} \\ A_{3} & A_{4} \end{array}\right]\end{split}\]

​  从而

\[\begin{split}A^{T}=\left[\begin{array}{cc} A_{1}^{T} & A_{3}^{T} \\ A_{2}^{T} & A_{4}^{T} \end{array}\right]\end{split}\]

1.4.2 矩阵的加法与乘法

​  定义 \(1.4.5\)  设 \(A=\left(a_{i j}\right), B=\left(b_{i j}\right)\) 都是数域 \(G\) 上 \(m \times n\) 矩阵，令

\[C=\left(a_{i j}+b_{i j}\right)_{m n}\]

​  则称矩阵 \(C\) 是矩阵 \(A\) 与 \(B\) 的和，记作 \(C=A+B\) 。

​  定义 \(1.4.6\)  设 \(A=\left(a_{ij}\right)\) 是数域 \(G\) 上 \(m \times n\) 矩阵, \(k \in G\) ，令

\[M=\left(k a_{i j}\right)_{m \times n}\]

​  则称矩阵 \(M\) 是 \(k\) 与矩阵 \(A\) 的数量乘积，记作 \(M=k A\) 。 8条运算法则：设 \(A\) , \(B\) , \(C\) , 都是 \(G\) 上 \(m \times n\) 矩阵 \(k, l \in G\) , 有:

\[\begin{split}\begin{aligned}& 1^{\circ} A+B=B+A ; \\& 2^{\circ}(A+B)+C=A+(B+C) ;\\& 3^{\circ} A+0=0+A=A ;\\& 4^{\circ} A+(-A)=(-A)+A=0 ; \\& 5^{\circ} 1 A=A ;\\& 6^{\circ}(k l) A=k(l A) ;\\& 7^{\circ}(k+l) A=k A+l A ; \\& 8^{\circ} k(A+B)=k A+k B .\end{aligned}\end{split}\]

​  利用负矩阵的概念，可以定义矩阵的减法如下：设 \(A\) 、 \(B\) 都是 \(m \times n\) 矩阵，则 \(A-B:=A+(-B)\)

​  定义 \(1.4.7\)  设 \(A=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}\) ， \(B=\left(b_{i j}\right)_{n \times s}\) ，令

\[C=\left(c_{i j}\right)_{m \times s}\]

​  其中

\[c_{i j}=a_{11} b_{1 j}+a_{12} b_{2 j}+\ldots+a_{i n} b_{n j}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}\]

\(i=1,2, \ldots, m ; j=1,2, \ldots, s\) 。则矩阵 \(C\) 称为矩阵 \(A\) 与 \(B\) 的乘积, 记作 \(C=A B\) 。

​  矩阵乘法需要注意以下两点:

​  ​  (1) 只有左矩阵的列数与右矩阵的行数相同的两个矩阵才能相乘;

​  ​  (2) 乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数, 乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数。

​  例如设：

\[\begin{split}A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc} 7 & 8 \\ 9 & 10 \end{array}\right)\end{split}\]

​  则:

\[\begin{split}A B=\left(\begin{array}{cc}25 & 28 \\57 & 64 \\89 & 100\end{array}\right)\end{split}\]

​  矩阵的乘法有下面两条性质：

   \(1^{\circ}\) 矩阵的乘法适合结合律，但一般不适合交换律:

  设 \(A=\left(a_{ij}\right)_{m \times n}, B=\left(b_{i j}\right)_{n \times s}, C=\left(c_{i j}\right)_{s \times m}\) , 则 \((A B) C=A(B C)\) 。 一般对矩阵 \(A, B\) 不成立 \(A B=B A\) 如

\[\begin{split}A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right), A B=(2), B A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right), A B \neq B A\end{split}\]

​  若对矩阵 \(A\) , \(B\) 成立 \(A B=B A\) 则称 \(A\) 与 \(B\) 可交换。

   \(2^{\circ}\) 矩阵的乘法适合左分配律，也适合右分配律:

\[A(B+C)=A B+A C,(B+C) D=B D+C D\]

\(n\) 级矩阵 \(A=\left(a_{i j}\right)\) 中的元素 \(a_{i i}(i=1,\ldots, n)\) 称为主对角线上元素。主对角线上元素都是 \(1\) ， 其余元素都是 0 的 \(n\) 级矩阵称为 \(n\) 级单位阵，记作 \(I_{n}\) ，或简记作 \(I\) 。容易直接计算得：

\[I_{ n} A_{n \times m }=A_{n \times m}, A_{n \times m} I_{m}=A_{n m}\]

​  特别的，如果 \(A\) 是 \(n\) 阶矩阵，则

\[I A=A I=A\]

​  矩阵的乘法与数量乘法满足下述关系式:

\[k(A B)=(k A) B=A(k B)\]

​  矩阵的加法、数量乘法、乘法与矩阵的转置有如下关系:

\[(A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime} ;(k A)^{\prime}=k A^{\prime} ;(A B)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}\]

​  定义 \(1.4.8\)  主对角线以外的元素全为 0 的方阵称为对角矩阵，简记作

\[\text{diag}\left\{d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{n}\right\}\]

1.4.3 可逆矩阵和矩阵相似

​  定义 \(1.4.9\)  对于数域 \(G\) 上的矩阵 \(A\) ，如果存在数域 \(G\) 上的矩阵 \(B\) ，使得

\[A B=B A=I\]

那么称 \(A\) 是可逆矩阵 (或非奇异矩阵) ; 称 \(B\) 为 \(A\) 的逆矩阵，记作 \(A^{-1}\) 。

​  定义 \(1.4.10\)  设 \(A\) 与 \(B\) 都是数域 \(G\) 上的 \(n\) 级矩阵，如果存在数域 \(G\) 上的一个 \(n\) 级可逆矩阵 \(P\) ，使得 \(P^{-1} A P=B\) 那么称 \(A\) 与 \(B\) 是相似的。